数字信号处理第三版答案

一、时域离散信号分析

1. 脉冲序列表示

题1中的图序列可以表示为：

\(x(n)=\delta(n+4)+2\delta(n+2)-\delta(n+1)+2\delta(n)+\delta(n-1)+2\delta(n-2)+4\delta(n-3)+0.5\delta(n-4)+2\delta(n-6)\)

这个序列的示意图如原题所示^[1]^。

2. 周期序列判断

对于序列 \(x(n)=A\cos(\frac{8\pi}{7}n+\frac{\pi}{3})\)，这是一个周期序列，其周期 \(T=14\)（由于 \(\omega=\frac{8\pi}{7}\) ，所以 \(\frac{2\pi}{\omega}=14\) 化简为整数比）^[2][5]^。而序列 \(x(n)=e^{j(n/8+\pi)}\) 则是非周期序列，因为 \(\omega=\frac{1}{8}\) 为无理数^[2]^。

二、系统与卷积计算

1. 线性卷积

对于 \(u(n)u(n)\) 的卷积，我们有：

\(y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(k)u(n-k)=(n+1)u(n)\)

另一种形式是：

\(y(n)=\frac{1-\lambda^{n+1}}{1-\lambda}u(n)\) 其中 \((\lambda eq 1)\)^[5]^。

2. 差分方程求解

系统差分方程为 \(y(n)-0.9y(n-1)=0.05x(n)+0.05x(n-1)\)。通过 `filter` 函数仿真，该系统的响应在收敛时表示系统稳定^[7]^。

三、频域分析

1. 频率响应映射

在双线性变换法中，模拟低通滤波器 \(\Omega=0\) 对应数字频率 \(\omega=\pi\)。设计高通滤波器时，需特别注意频率映射关系^[6]^。

四、实验与仿真

1. 单位脉冲响应验证

使用 MATLAB 计算系统单位脉冲响应的代码如下：

\(hn = impz(B, A, 58)\)（其中B、A为系统系数向量）然后使用 `stem(hn)` 绘制离散响应波形^[7]^。