代数几何（代数几何学）
按照俄国数学家沙法列维奇的观点，代数几何在现代数学的发展中占据了相对中心的位置。它不仅与其他数学分支如抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何以及分析学有着紧密的关联，而且其思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学主要分支学科中。
本文作者陈跃的《什么是代数几何》一文，为我们简要回顾了代数几何的发展历史。在20世纪之前，数学家们对代数簇的研究已经开始了漫长的之路。
在古希腊时期，数学家们已经开始研究直线、圆、圆锥曲线等代数曲线以及平面、球面等代数曲面，这些都是只用一个多项式来确定的代数簇。随着时间的推移，几何的出现使得研究任意次数的代数曲线或曲面成为可能，所有的几何问题都可以转化为代数问题来解决。
到了17世纪，德沙格通过透视方法引入了射影对应的概念，并引进了无穷远点的概念。在普通欧氏平面和空间中加入无穷远点后，得到了射影平面和射影空间，这些都是许多经典代数簇所在的空间。另一方面，欧拉的虚数概念的引入完成了代数方面的“封闭化”，使得数学命题的叙述得以简化。
进入19世纪后，代数几何的研究逐渐深入。数学家们开始研究更复杂的代数簇，并通过抽象代数方法引入代数几何。在此期间，许多重要的理论如代数簇的结构、形态空间等逐渐浮出水面。著名的卡拉比-丘成桐流形成为代数几何中的热门研究对象之一。这些发展都为现代数学的发展奠定了坚实的基础。
代数几何是一门用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式的学科。它的发展历程充满了曲折与，但总是与其他数学分支紧密相连。通过了解代数几何的发展历史，我们可以更深入地理解现代数学的发展脉络，并感受到数学的魅力与神奇。欢迎继续品鉴陈跃的《一文搞懂代数几何发展史（二）》，了解更多的代数几何知识。三、19世纪末到20世纪早期对代数簇的深入研究
随着19世纪末至20世纪初的科学革命，数学领域也迎来了巨大的变革。在这个时期，代数几何的研究进入了一个全新的阶段，关于代数簇的研究也取得了深入的进展。
法国数学家庞斯列（Poncelet）在射影几何理论的背景下，初步了复代数曲线与复代数簇的代数几何定理。射影几何理论为代数几何提供了新的视角和方法，例如射影变换的理论以及涉及到计数几何的定理。这些理论对于理解复代数曲线的性质起到了关键作用。
与此德国数学家黎曼（Riemann）在研究阿贝尔积分理论的过程中，引入了内蕴的“黎曼面”的概念和黎曼面上代数函数的理论。黎曼的研究揭示了复代数曲线与几何对象之间的深层联系，他发现了“亏格”这一现代几何的基本概念，并提出了代数几何中最基本的双有理变换的思想。黎曼-罗赫定理的发现更是揭示了代数曲线上的有理函数域与几何不变量之间的联系。黎曼的工作为后来的代数几何发展奠定了坚实的基础。
随着研究的深入，数学家们开始关注一般高维代数簇的性质。他们发现，黎曼流形的概念以及黎曼曲率张量为研究高维代数簇提供了有力的工具。黎曼猜想作为数论领域的重要猜想，也为代数几何的发展提供了强大的动力。
代数数论的研究也是推动代数几何发展的另一个重要来源。代数学派和几何学派的工作互相促进，推动了复代数曲线的研究。代数学派引入了理想、赋值和除子等基本概念，为代数几何提供了新的研究方法。而几何学派则继续从经典射影几何的角度研究复代数曲线，发现了平面曲线奇点解消的“胀开”方法。这些研究为理解代数簇的性质提供了宝贵的启示。
从19世纪末到20世纪初，数学家们对代数簇进行了深入的研究，推动了代数几何的发展。他们的研究成果为我们理解代数簇的性质、新的数学领域提供了宝贵的启示和工具。这些研究不仅具有理论意义，也对现代数学的发展产生了深远的影响。以皮卡和庞加莱为代表的分析学派，致力于将黎曼的复代数曲线理论拓展至复代数曲面领域。尽管维数只增加了一维，但从代数曲线过渡到代数曲面，研究难度大幅上升。在复三维空间中，复代数曲面由三元复多项式定义，其零点集在实6维空间中形成一个4维的实微分流形。
庞加莱首创的代数拓扑同调理论，为理解高维流形的拓扑性质提供了关键工具。他通过单纯复形的同调理论，严格证明了黎曼的直观猜想。莱夫谢茨也利用同调理论研究复代数曲面的拓扑性质，取得了一系列重要突破。
在研究代数曲面时，意大利学派的贡献同样不可忽视。卡斯泰尔诺沃、恩里奎斯和塞维里等人凭借天才的几何直觉和高超技巧，综合运用各种方法，如分析和拓扑，建立了深刻的复代数曲面理论。他们研究了代数曲面的奇点解消、除子与线性系的经典理论等，并初步了代数曲面的黎曼-罗赫定理和模空间。尽管意大利学派的工作缺乏一个统一的逻辑基础，但其成果仍对后世产生了深远影响。
从皮卡、庞加莱到意大利学派，代数几何领域经历了不断的发展与创新。尽管面临诸多挑战和困难，但数学家们仍在不断、前进。他们的研究成果为我们今天理解复代数曲面提供了宝贵的理论基础。
期待下一篇章《一文搞懂代数几何发展史（二）》的详细介绍，让我们继续这一充满挑战与机遇的数学领域。流产网始终致力于为大家提供有益的知识，希望本文能对您有所帮助。我们将持续关注并分享更多有关数学及其他领域的精彩内容，敬请期待。